Question

4．已知拋物線y²=4x，直線l過定點P（2，1），斜率為k，當k為何值時，直線l與拋物線：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．

Answer 1

分析 設出直線方程代入拋物線方程整理可得k²x²+（-4k²+2k-4）x+4k²-4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點?（*）只有一個根
（2）直線與拋物線有2個公共點?（*）有兩個根
（3）直線與拋物線沒有一個公共點?（*）沒有根

解答 解：由題意可設直線方程為：y=k（x-2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（-4k²+2k-4）x+4k²-4k+1=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個公共點等價于（*）只有一個根
①k=0時，y=1符合題意；
②k≠0時，△=（-4k²+2k-4）²-4k²（4k²-4k+1）=0，整理，得2k²-k+1=0，無解，
綜上可得，k=0；
（2）由（1）得2k²-k+1＞0且k≠0，∴k≠0；
（3）由（1）得2k²-k+1＜0，無解．

點評 本題主要考查了由直線與拋物線的位置關系的求解參數的取值范圍，一般的思路是把位置關系轉化為方程解的問題，體現了轉化的思想．