Question

（2010•寶山區模擬）已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）通過bn=

Sn

n+c

構造一個新的數列{b_n}，求非零常數c，使{b_n}也為等差數列；
（3）對于（2）中符合條件的數列{b_n}，求f(n)=

bn

(n+2010)•bn+1

(n∈N*)的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為s_n，且滿足a₂a₃=45，a₁+a₄=14，我們構造出關于首項和公差的方程，解方程求出首項和公差，即可得到數列{a_n}的通項公式．
（2）根據（1）的結論，可得到s_n的表達式，再根據bn=

Sn

n+c

可得數列{b_n}的前3項，根據{b_n}也是等差數列，構造關于b的方程，即可求出非零常數c的值．
（3）根據（2）可得f（n）═

n

(n+2010)(n+1)

=

1

n+ 2010 n +2011

但對于n+

2010

n

不能用基本不等式因為等號成立的條件是n²=2010但由于n為正整數這是不可能的因此需比較與

2010

鄰近的兩個正整數44，45所對應的44+

2010

44

和55+

2010

55

的大小就可得出f（n）的最大值．

解答：解：：（1）{a_n}為等差數列，所以，a₁+a₄=a₂+a₃=14
又a₂a₃=45所以a₂，a₃是方程x²-14x+45=0的兩實根，公差d＞0，
∴a₂＜a₃∴a₂=5，a₃=9
∴a₁+d=5，a₁+2d=9
∴a₁=1，d=4
∴a_n=4n-3
（2）由（1）知s_n=n（2n-1）
∴bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

∴b₁=11+c，b₂=62+c，b₃=153+c
又∵{b_n}也是等差數列
∴b₁+b₃=2b₂
即  2•（62+c）=11+c+153+c，解得 c=-

1

2

或c=0（舍去）
∴bn=2n是等差數列，故 c=-

1

2

（3）∵f(n)=

bn

(n+2010)•bn+1

(n∈N*)=

n

(n+2010)(n+1)

=

1

n+ 2010 n +2011

且44+

2010

44

＞55+

2010

55

∴f（n）≤

9

18906

故f（n）有最大值且最大值為

9

18906

點評：本題考查的知識點是等差數列的通項公式，其中求等差數列的通項公式時，根據已知構造出關于首項和公差的方程，是最常用的辦法．