Question

已知△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，向量=（4，-1），且．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，試判斷b×c取得最大值時△ABC形狀．

Answer 1

解：（1）由
（1分）
==-2cos²A+2cosA+3（3分）
又因為．所以
解得（5分）
∵（6分）
（2）在△ABC中a²=b²+c²-2bccosA且a=，
∴（）2=b²+c²-bc．（8分）
∵b²+c²≥2bc，∴3≥2bc-bc
即 bc≤3當且僅當 b=c=時，bc取得最大值，（10分）
又由（1）知 A=60°∴B=C=60°
故 bc取得最大值時，△ABC為等邊三角形．（12分）
分析：（1）利用已知計算，然后令它等于，可求A的值．
（2）利用余弦定理，求得bc的關系，再用基本不等式和最大值，判定三角形的形狀．
點評：本題考查平面向量數量積，余弦定理，三角函數的基本關系式，是中檔題．