Question

已知：對于數列{a_n}，定義{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n，
（1）若數列{a_n}的通項公式（n∈N^*），求：數列{△a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的首項是1，且滿足△a_n-a_n=2ⁿ，
①設，求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{b_n}的通項公式；
②求：數列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把代入△a_n=a_n+1-a_n，整理即可求出數列{△a_n}的通項公式；
（2）①先利用△a_n-a_n=2ⁿ得到a_n+1=2a_n+2ⁿ．再利用等差數列的定義來證明數列{b_n}是等差數列即可，進而求出數列{b_n}的通項公式；
②由上面求出的結論，直接代入可以得到數列{a_n}的通項公式，再利用數列求和的錯位相減法求和即可．
解答：解：（1）依題意△a_n=a_n+1-a_n，
∴△a_n=[（n+1）²-（n+1）]-[n]=5n+1
（2）①由△a_n-a_n=2ⁿ⇒a_n+1-a_n-a_n=2ⁿ⇒a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∵，
∴b_n+1-b_n===，且，
故{b_n}是首項為，公差為的等差數列
∴b_n=
②∵，
∴a_n==n•2^n-1
∴s_n=1•2+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1（1）
2s_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ（2）
（1）-（2）得-s_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=-n•2ⁿ
∴s_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1
=（n-1）2ⁿ+1．
點評：本題是在新定義下對等差數列的知識以及錯位相減法求和的考查，主要考查運算能力．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．