Question

已知函數f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若方程f（x）=0沒有實根，求a的取值范圍；
（3）證明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²，其中n≥2．

Answer 1

分析：（1）利用導數求出函數的極值，然后求f（x）的單調區間；
（2）若方程f（x）=0沒有實根，由（1）可得f（x）在x=e處取得極小值，且f（x）=0沒有實根，即可求a的取值范圍；
（3）方法一：利用?x＞0，xlnx＞2x-3恒成立，即可證明ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²．
方法二：利用數學歸納法驗證n=2成立，然后通過假設，證明n=k+1不等式也成立即可．

解答：解：（1）由題意可知：f'（x）=lnx-1，令f'（x）=0，得x=e，（1分）
則當x∈（0，e）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；（2分）
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增（4分）
（2）由（1）可得f（x）在x=e處取得極小值，且f（x）=0沒有實根，（6分）
則minf（x）=f（e）＞0，即a-e＞0，解得：a＞e（8分）
（3）方法1：由（2）得，令a=3＞e，f（x）=xlnx-2x+3＞0成立，
則?x＞0，xlnx＞2x-3恒成立（10分）
故ln1+2ln2+3ln3++nlnn=2ln2+3ln3++nlnn＞（2•2-3）+（2•3-3）+（2•4-3）++（2•n-3）=2•

(n+2)(n-1)

2

-3(n-1)=（n-1）²，即得證．（14分）
方法2：數學歸納法
（1）當n=2（2）時，ln1+2ln2＞1²（3）成立；
（4）當n=k（5）時，ln1+2ln2+3ln3++klnk＞（k-1）²（6）成立，
當n=k+1時，ln1+2ln2+3ln3++klnk+（k+1）ln（k+1）＞（k-1）²+（k+1）ln（k+1）
同理令a=3＞e，xlnx＞2x-3，即（k+1）ln（k+1）＞2（k+1）-3，（10分）
則（k-1）²+（k+1）ln（k+1）＞（k-1）²+2（k+1）-3=k²，（12分）
故ln1+2ln2+3ln3++klnk+（k+1）ln（k+1）＞k²，
即ln1+2ln2+3ln3++klnk＞（k-1）²對n=k+1也成立，
綜合（1）（2）得：?n≥2，ln1+2ln2+3ln3++nlnn＞（n-1）²恒成立．（14分）

點評：本題是中檔題，考查函數的導數的應用，不等式的綜合應用，數學歸納法的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．