Question

（2012•廣西模擬）已知f(x)=ax-lnx，x∈(0，e]，g(x)=

lnx

x

，其中e是自然常數，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的極值，證明|f(x)|＞g(x)+

1

2

恒成立；
（2）是否存在實數a，使f（x）的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，知當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減；當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增．故f（x）的極小值為f（1）=1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，由此能夠證明|f（x）|＞g(x)+

1

2

恒成立．
（2）假設存在實數a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．分類討論能推導出存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時，f（x）有最小值3．

解答：解：（1）∵f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調遞減；
當1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調遞增．
∴f（x）的極小值為f（1）=1，
即f（x）在（0，e]上的最小值為1，
令h（x）=g（x）+

1

2

=

lnx

x

+

1

2

，h′(x)=

1-lnx

x2

，
當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調遞增，
∴h(x)min=h(e)=

1

e

+

1

2

＜

1

2

+

1

2

=1=|f（x）|_min，
∴|f（x）|＞g(x)+

1

2

恒成立．
（2）假設存在實數a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①當a≤0時，f（x）在（0，e]上單調遞減，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍），
∴a≤0時，不存在a使f（x）的最小值為3．
②當0＜

1

a

＜e時，f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，e]單調遞增，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．
③當

1

a

≥e時，不存在a使f（x）的最小值為3，
綜上，存在實數a=e²，使得當x∈（0，e]時，f（x）有最小值3．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，具體涉及到不等式恒成立的證明和探索是否存在實數a，使f（x）的最小值為3．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化，合理地運用分類討論思想進行解題．