Question

（2011•藍山縣模擬）若函數y=f（x）（x∈D）同時滿足下列條件：
（1）f（x）在D內為單調函數；
（2）f（x）的值域為D的子集，則稱此函數為D內的“保值函數”．
已知函數f（x）=

ax+b-3

lna

，g（x）=ax²+b．
①當a=2時，f（x）=

ax+b-3

lna

是[0，+∞）內的“保值函數”，則b的最小值為

2

；
②當-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1時，g（x）=ax²+b是[0，1]內的“保值函數”的概率為

1

4

．

Answer 1

分析：①，由題意可得f（x）的解析式，對其求導判斷可得f（x）為增函數，進而可得f（x）的值域，根據題意中保值函數的定義，可得

b-2

ln2

≥0，解可得b的范圍，即可得答案．
②，根據題意，由a、b的范圍分析可得其表示的平面區域，計算可得其面積，對于函數f（x），分-1≤a＜0與0＜a≤1兩種情況，先分析出f（x）的單調性，由此得到f（x）的值域，進而由保值函數的定義，可得關于a、b的不等式組，分析可得其對應的平面區域，易得其面積，綜合兩種情況可得f（x）為保值函數對應的平面區域即面積，由幾何概型公式計算可得答案．

解答：解：①，根據題意，a=2，則f（x）=

2x+b-3

ln2

，
f′（x）=2^x＞0，則f（x）在[0，+∞）為增函數，
故f（x）的最小值為f（0）=

b-2

ln2

，其最大值不存在，則f（x）的值域為[

b-2

ln2

，+∞），
又由f（x）在[0，+∞）是“保值函數”，
則有

b-2

ln2

≥0，解可得b≥2；
故b的最小值為2．
②，根據題意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
則a、b確定的區域為邊長為2的正方形，其面積為4；
對于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
當-1≤a＜0時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，
則f（x）的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=a+b，則f（x）的值域為[a+b，a]，
若f（x）為保值函數，則有

0≤a+b a≤1

，
其表示的區域為陰影三角形A，面積為

1×1

2

=

1

2

，
當0＜a≤1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，
則f（x）的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=a+b，則f（x）的值域為[a，a+b]，
若f（x）為保值函數，則有

b≥0 a+b≤1

，
其表示的區域為陰影三角形B，面積為

1×1

2

=

1

2

；
f（x）為保值函數對應區域的面積為1；
則f（x）為保值函數的概率為

1

4

；
故答案為①2，②

1

4

．

點評：本題考查幾何概型的計算以及函數單調性的應用，關鍵是理解保值函數的定義．