Question

某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數ξ依次為1，2，…，8，其中ξ≥5為標準A，ξ≥3為標準B，產品的等級系數越大表明產品的質量越好，已知某廠執行標準B生產該產品，且該廠的產品都符合相應的執行標準．
（1）從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
該行業規定產品的等級系數ξ≥7的為一等品，等級系數5≤ξ＜7的為二等品，等級系數3≤ξ＜5的為三等品，試分別估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知該廠生產一件該產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ξ的關系式為：，從該廠生產的產品中任取一件，其利潤記為X，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由樣本數據，結合行業規定，確定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）確定X的可能取值為：1，2，4，用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得X的分布列，從而可求數學期望．
解答：解：（1）由樣本數據知，30件產品中等級系數ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）
∴樣本中一等品的頻率為，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2--------（4分）
二等品的頻率為，故估計該廠生產的產品的二等品率為0.3；--------------（5分）
三等品的頻率為，故估計該廠生產的產品的三等品的頻率為0.5．----------（6分）
（2）∵X的可能取值為：1，2，4
用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，由（1）
可得P（X=1）=0.5，P（X=2）=0.3，P（X=4）=0.2--（8分）
∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）

X	1	2	4
P（X）	0.5	0.3	0.2

其數學期望EX=1×0.5+2×0.3+4×0.2=1.9（元）-----------------------------（12分）
點評：本題考查統計知識，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題時利用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．