Question

設a，b，c，d∈R，則條件甲：ac=2（b+d）是條件乙：方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中至少有一個有實根的（　　）

• A、充分而不必要條件
• B、必要而不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由于直接判斷難度較大，故我們可以先判斷非乙?非甲的真假，再判斷非甲?非乙的真假，判斷出命題非乙是非甲的什么條件，再利用互為逆否的命題真假性相同得到答案．

解答：解：若方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中均無實根
則a²-4b＜0且c²-4d＜0
則

a2+c2

2

＜2(b+d)
即ac＜2（b+d）
此時ac≠2（b+d）
故非乙?非甲是真命題，
但ac≠2（b+d）時，ac＜2（b+d）不一定成立，
故方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中均無根不一定成立
故非甲?非乙是假命題，
故非乙是非甲的充分不必要條件
根據互為逆否命題真假性相同，我們可得：
條件甲：ac=2（b+d）是條件乙：方程x²+ax+b=0與方程x²+cx+d=0中至少有一個有實根的充分而不必要條件
故選A．

點評：本題考查的知識點是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，其中利用“正難則反”的原則，將問題轉化為證明其逆否命題真假的判斷是解答的關鍵．