Question

設函數f（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函數f（x）的一個極值點，求實數a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求實數a的值，使得函數f（x）同時具備如下的兩個性質：
①對于任意實數x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，恒成立；
②對于任意實數x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，恒成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞），，
依題意，f'（1）=1+2a-（3a+1）=0，解得a=0．
此時，f（x）=lnx-x+1，．
因為x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．
所以，函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
因此，當x=1時，f（x）取得最大值f（1）=0．
（Ⅱ）令
==，
由（Ⅰ）中的結論可知，lnx-x+1＜0對任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx＜x-1（*）恒成立．
（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，則．
根據（*）可得，．
若f（x）滿足性質①，則恒成立，
于是對任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂恒成立，所以．
（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，則．
根據（*）可得?，
則F（x₁，x₂）＜．若f（x）滿足性質②，則恒成立．
于是對任意x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂恒成立，所以a．
綜合（ⅰ）（ⅱ）可得，a=．
分析：（Ⅰ）先求函數的定義域、導數f′（x），由題意f'（1）=0，解出可得a值，在定義域內解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，可得f（x）的單調性，根據單調性可得其最大值；
（Ⅱ）令=，由（Ⅰ）中的結論可得對任意x∈（0，1）∪（1，+∞），lnx＜x-1（*）恒成立．（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，則．根據（*）可得，．由性質①轉化為恒成立問題，可得a的范圍；（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，則．再根據（*）進行放縮，由性質②可得恒成立問題，由此可得a的范圍，綜合（i）（ii）可得a的范圍；
點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值問題，考查恒成立問題，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，解決（Ⅱ）問的關鍵是借助（Ⅰ）中的結論得到恰當不等式．