Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)C（x，f（x））（x為非零常數(shù)）處的切線為l，若函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)都不在直線l的上方，試探求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，分類討論，將函數(shù)化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)函數(shù)即可；
（Ⅱ）根據(jù)x₁、x₂為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理，可求a的值，即得到函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，利用f'（x）≥0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）確定切線l的方程，再構(gòu)造新函數(shù)g（x），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而函數(shù)f（x）=ln|x|-x²+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上，等價(jià)于g（x）≤0對(duì)x≠0恒成立，即只需g（x）≤0和，由此可得x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln|x|-x²+ax的定義域?yàn)閧x|x∈R，x≠0}．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-x²+ax，∴；  …（1分）
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ln（-x）-x²+ax，∴； …（3分）
綜上可得 ．…（4分）
（Ⅱ）∵=，x₁、x₂為函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴x₁、x₂為方程-2x²+ax+1=0的兩根，所以，
又∵，∴a=-1．…（5分）
此時(shí)，，
由f'（x）≥0得，
當(dāng)x＞0時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)x＜0時(shí)，（2x-1）（x+1）≥0，∴x≤-1或x≥，此時(shí)x≤-1．
∴當(dāng)f'（x）≥0時(shí)，x≤-1或．…（7分）
當(dāng)f'（x）≤0時(shí)，同理解得．…（8分）
綜上可知a=-1滿足題意，且函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1]和．…（9分）
（Ⅲ）∵，又，
∴切線l的方程為，
即（x為常數(shù)）．…（10分）
令=，=，（11分）
當(dāng)x＞0時(shí)，x、g'（x）、g（x）的關(guān)系如下表：

x				（0，x）	x	（x，+∞）
g'（x）	+		-	+		-
g（x）	↗	極大值	↘	↗	極大值	↘

當(dāng)x＜0時(shí)，x、g'（x）、g（x）的關(guān)系如下表：

x	（-∞，x）	x	（x，0）
g'（x）	+		-	+		-
g（x）	↗	極大值	↘	↗	極大值	↘

函數(shù)f（x）=ln|x|-x²+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上，
等價(jià)于g（x）≤0對(duì)x≠0恒成立．
∴只需g（x）≤0和同時(shí)成立．…（12分）
∵g（x）=0，∴只需．
下面研究函數(shù)，
∵，
∴m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
注意到m（1）=0，∴當(dāng)且僅當(dāng)0＜x≤1時(shí)，m（x）≤0．…（13分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
由解得或．
∴x的取值范圍是．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想．