Question

已知函數(shù)f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的余弦公式展開，結(jié)合二倍角公式和輔助角公式進行化簡，可得f（x）=

2

2

cos(2x+

π

4

)，再利用三角函數(shù)的周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期，再根據(jù)余弦函數(shù)的值域即可求得函數(shù)f（x）的最大值．
（2）根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的結(jié)論，解關(guān)于x的不等式并將所得不等式變成區(qū)間，即可求出函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

 …（1分）
=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)-

1

2

sin2x+

1

4

…（2分）
=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

-

1

2

sin2x+

1

4

…（4分）
=

1

2

(cos2x-sin2x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)…（6分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為 T=

2π

2

=π，…（7分）
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ（k∈Z）時，即x=-

π

8

+kπ（k∈Z）時，函數(shù)f（x）的最大值為

2

2

…（8分）
（ 2）設(shè) 2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ，k∈z…（10分）
解之可得：kπ-

5

8

π≤x≤kπ-

π

8

，k∈z…（11分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]，k∈z…（12分）

點評：本題給出三角函數(shù)表達式，求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．