Question

如圖，正三棱臺ABC－A₁B₁C₁中，A₁B₁＝2，AB＝4．

(1)若三棱臺的高為3，A₁B₁＝2，AB＝4，求側棱長及側面與底面所成的角；

(2)若三棱臺的高為h，A₁B₁∶AB＝1∶2，過B₁C₁平行于相對側棱AA₁的截面把這個三棱臺分成兩部分，求這兩部分的體積比．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖， 　　設正三棱臺ABC－A1B1C1上、下底面中心分別為點O1、O，作O1E⊥B1C1，垂足為E，ED⊥BC，垂足為D，EF⊥OD于點F，C1G⊥CO于點G． 　　在Rt△CC1G中，C1G＝3， 　　CG＝CO－C1O1＝， 　　∴． 　　由作圖可知，側面與底面所成的角就是∠EDO． 　　在Rt△EDF中，EF＝3， 　　DF＝DO－EO1＝， 　　∴tan∠EDF＝． 　　∴∠EDF＝arctan． 　　(2)設截面B1C1NM∥A1A，則B1M∥A1A∥C1N，幾何體A1B1C1－AMN為三棱柱．再設三棱臺的上、下底面積分別為S1、S2． 　　∵△A1B1C1∽△ABC，且A1B1∶AB＝1∶2， 　　∴S1∶S2＝1∶4，即S2＝4S1． 　　∴V三棱臺＝． 　　V三棱柱＝S1h． 　　∴另一部分多面體的體積V＝V三棱臺－V三棱柱＝hS1． 　　∴V三棱柱∶V＝3∶4．