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【題目】已知函數f(x)=alnx+ x2﹣(1+a)x.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)若f(x)≥0對定義域中的任意x恒成立,求實數a的取值范圍;
(3)證明:對任意正整數m,n,不等式 + +…+ 恒成立.

【答案】
(1)解:∵f′(x)= +x﹣(1+a),

①當a≤0時,若0<x<1,則f′(x)<0,

故函數f(x)的單調減區間是(0,1);

若x>1,則f′(x)>0,故函數f(x)的增區間是(1,+∞).

②當0<a<1時,函數f(x)的單調減區間是(a,1);

單調增區間是(0,a),(1,+∞).

③當a=1時,則f′(x)= ≥0,

故函數f(x)的單調增區間是(0,+∞);

④當a>1時,函數f(x)的單調遞減區間是(1,a);

函數f(x)的單調遞增區間是(0,1),(a,+∞).


(2)解:由于f(1)=﹣

當a>0時,f(1)<0,

此時f(x)≥0對定義域內的任意x不是恒成立的.

當a≤0時,由(1)得f(x)在區間(0,+∞)上的極小值,也是最小值為f(1)=﹣

此時,f(1)≥0,解得a≤﹣

故實數a的取值范圍是(﹣∞,﹣ ).


(3)解:由(2)知,當a=﹣ 時,

f(x)=﹣ lnx+ x2 x≥0,當且僅當x=1時,等號成立,

這個不等式等價于lnx≤x2﹣x.

當x>1時,變換為 =

因此不等式左邊>( )+( )+…+( )= =

從而得證.


【解析】(1)求出f(x)的導數,由此根據a的取值范圍進行分類討論,能求出函數f(x)的單調區間.(2)由于f(1)=﹣ ,當a>0時,f(1)<0,此時f(x)≥0對定義域內的任意x不是恒成立的.當a≤0時,由(1)得f(x)在區間(0,+∞)上取得最小值為f(1)=﹣ ,由此能求出實數a的取值范圍.(3)由(2)知,當a=﹣ 時,f(x)≥0,當且僅當x=1時,等號成立,這個不等式等價于lnx≤x2﹣x.由此能夠證明對任意的正整數m,n,不等式恒成立.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點,需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果,那么函數在這個區間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區間單調遞減;求函數上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數內的極值;(2)將函數的各極值與端點處的函數值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
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