【題目】已知函數f(x)=alnx+ x2﹣(1+a)x.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)若f(x)≥0對定義域中的任意x恒成立,求實數a的取值范圍;
(3)證明:對任意正整數m,n,不等式 +
+…+
>
恒成立.
【答案】
(1)解:∵f′(x)= +x﹣(1+a),
①當a≤0時,若0<x<1,則f′(x)<0,
故函數f(x)的單調減區間是(0,1);
若x>1,則f′(x)>0,故函數f(x)的增區間是(1,+∞).
②當0<a<1時,函數f(x)的單調減區間是(a,1);
單調增區間是(0,a),(1,+∞).
③當a=1時,則f′(x)= ≥0,
故函數f(x)的單調增區間是(0,+∞);
④當a>1時,函數f(x)的單調遞減區間是(1,a);
函數f(x)的單調遞增區間是(0,1),(a,+∞).
(2)解:由于f(1)=﹣ ,
當a>0時,f(1)<0,
此時f(x)≥0對定義域內的任意x不是恒成立的.
當a≤0時,由(1)得f(x)在區間(0,+∞)上的極小值,也是最小值為f(1)=﹣ ,
此時,f(1)≥0,解得a≤﹣ ,
故實數a的取值范圍是(﹣∞,﹣ ).
(3)解:由(2)知,當a=﹣ 時,
f(x)=﹣ lnx+
x2﹣
x≥0,當且僅當x=1時,等號成立,
這個不等式等價于lnx≤x2﹣x.
當x>1時,變換為 >
=
﹣
,
因此不等式左邊>( ﹣
)+(
﹣
)+…+(
﹣
)=
﹣
=
,
從而得證.
【解析】(1)求出f(x)的導數,由此根據a的取值范圍進行分類討論,能求出函數f(x)的單調區間.(2)由于f(1)=﹣ ,當a>0時,f(1)<0,此時f(x)≥0對定義域內的任意x不是恒成立的.當a≤0時,由(1)得f(x)在區間(0,+∞)上取得最小值為f(1)=﹣
,由此能求出實數a的取值范圍.(3)由(2)知,當a=﹣
時,f(x)≥0,當且僅當x=1時,等號成立,這個不等式等價于lnx≤x2﹣x.由此能夠證明對任意的正整數m,n,不等式恒成立.
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點,需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區間內,(1)如果
,那么函數
在這個區間單調遞增;(2)如果
,那么函數
在這個區間單調遞減;求函數
在
上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數
在
內的極值;(2)將函數
的各極值與端點處的函數值
,
比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥﹣2的解集M;
(Ⅱ)對任意x∈[a,+∞],都有f(x)≤x﹣a成立,求實數a的取值范圍.
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【題目】已知四數a1 , a2 , a3 , a4依次成等比數列,且公比q不為1.將此數列刪去一個數后得到的數列(按原來的順序)是等差數列,則正數q的取值集合是 .
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【題目】解答題
(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;
(2)設f(x)=x2﹣x+1,實數a滿足|x﹣a|<1,求證:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|)
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【題目】已知{an}是各項均為正數的等比數列(公比q>1),bn=log2an , b1+b2+b3=3,b1b2b3=﹣3,則an=( )
A.
B.
C.
D. 或
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,四邊形ACC1A1和BCC1B1均為正方形,且所在平面互相垂直.
(Ⅰ)求證:BC1⊥AB1;
(Ⅱ)求直線BC1與平面AB1C1所成角的大小.
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【題目】已知函數f(x)=ex﹣ax有極值1,這里e是自然對數的底數.
(1)求實數a的值,并確定1是極大值還是極小值;
(2)若當x∈[0,+∞)時,f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立,求實數m的取值范圍.
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