Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知向量

m

=（2b-c，cosC），

n

=（a，cosA），且

m

∥

n

，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據平面向量平行時滿足的條件得到一個關系式，根據正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡后，即可得到cosA的值，根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的A的度數，利用三角形的內角和定理得到B+C的度數，用C表示出B，代入cosB+cosC，利用誘導公式及兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據A的度數和三角形為銳角三角形，即可得到B的范圍，進而得到這個角的取值范圍，根據正弦函數的值域即可得到cosB+cosC的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為

m

∥

n

，所以（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2cosAsinB=cosAsinC+sinAcosC，
即2cosAsinB=sin（A+C），∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B+C=

2π

3

，
所以cosB+cosC=cosB+cos（

2π

3

-B）=cosB-cos（

π

3

-B）=cosB-

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin（B+

π

6

），
∵A=

π

3

且△ABC為銳角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

，即

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，所以cosB+cosC的取值范圍是（

3

2

，1]

點評：此題考查學生靈活運用正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡求值，靈活運用誘導公式及特殊角的三角函數值化簡求值，掌握平面向量平行時滿足的條件，是一道中檔題．