Question

22.已知數列{a_n}滿足：a₁=,且a_n=(n≥2,n∈N^*).

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)證明：對一切正整數n，不等式a₁·a₂·…·a_n＜2·n!恒成立.

Answer 1

解：

(1)將條件變為：1-因此，{1-}為一個等比數列，

其首項為1-,公比為，從而1-，

據此得a_n=(n≥1)                            …………①

（2）證：據①得，a₁,a₂…a_n=.

為證a₁a₂…a_n＜2·n!，

只要證n∈N^*時有＞.     …………②

顯然，左端每個因式皆為正數，先證明，對每個n∈N*,

≥1-.    …………③

用數學歸納法證明③式：

1°n=1時，顯然③式成立，

2°設n=k時，③式成立,

即≥1-,

則當n=k+1時,

≥［1-］

=１--

≥1-.

即當n=k+1時，③式也成立.

故對一切n∈N^*,③式都成立.

利用③得，≥1-

=1-

=1-＞.

故②式成立，從而結論得證.