Question

某種商品，原來定價每件p元，每月能賣出n件，假若定價上漲x成（這里x成即，且0＜x≤10），每月賣出數量將減少y成，而售貨金額變成原來的z倍．
（1）設y=x，求售貨金額最大時的x值；
（2）若y=x，求使售貨金額比原來有所增加的x值的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據售貨金額=單件定價×銷售量建立函數關系，然后基本不等式求出函數的最值；
（2）要使售貨金額比原來有所增加，當且僅當z＞1時才滿足要求，建立不等式關系，解之即可求出所求．
解答：解：（1）由題意知，某商品定價若上漲x成，上漲后的定價、每月賣出數量、每月售貨金額分別是p（1+）元、n（1-）件、znp元．
∴znp=p（1+）n（1-），
又y=x，
∴z=（1+）（2-）．
由已知1+＞0，2-＞0，
∴z≤²=，
當且僅當1+=2-，
即x=5時，取“=”號，得x=5∈（0，10]．
∴售貨金額最大時x的值為5．
（2）當y=x時，
z=（1+）（1-）=（10+x）（10-x）．
顯然，要使售貨金額比原來有所增加，
當且僅當z＞1時才滿足要求．
由（10+x）（10-x）＞1，得0＜x＜5．
∴使售貨金額比原來有所增加的x值的范圍是（0，5）．
點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．