Question

設(shè)F是拋物線G：x²=4y的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）過點(diǎn)P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B為拋物線G上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足

FA

•

FB

=0，延長AF，BF分別交拋物線G于點(diǎn)C，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出切點(diǎn)Q的坐標(biāo)，對拋物線方程求導(dǎo)求得拋物線在Q點(diǎn)的切線斜率，表示出切線的方程把P點(diǎn)坐標(biāo)代入求得x₀，則切線的方程可得．
（II）設(shè)出A，C的坐標(biāo)和直線AC的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，利用弦長公式表示出AC的長，根據(jù)AC⊥BD，表示出BD的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式表示出BD的長，進(jìn)而可表示出ABCD的面積，利用基本不等式求得其最小值．

解答：解：（I）設(shè)切點(diǎn)Q(x0，

x 2 0

4

)
　由y′=

x

2

，知拋物線在Q點(diǎn)處的切線斜率為

x0

2

，
故所求切線方程為y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)
即y=

x0

2

x-

x 2 4

4

因?yàn)辄c(diǎn)P（0，-4）在切線上
所以-4=-

x 2 0

4

，x₀²=16，x₀=±4
所求切線方程為y=±2x-4
（II）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由題意知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設(shè)k＞0
因直線AC過焦點(diǎn)F（0，1），所以直線AC的方程為y=kx+1
點(diǎn)A，C的坐標(biāo)滿足方程組

y=kx+1 x2=4y

得x²-4kx-4=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系知

x1+x2=4k x1x2=-4.

|AC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=4(1+k2)
因?yàn)锳C⊥BD，所以BD的斜率為-

1

k

，從而BD的方程為y=-

1

k

x+1
同理可求得|BD|=4(1+(-

1

k

)2)=

4(1+k2)

k2

SABCD=

1

2

|AC||BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32
當(dāng)k=1時(shí)，等號(hào)成立．　
所以，四邊形ABCD面積的最小值為32．

點(diǎn)評：本小題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)，拋物線的切點(diǎn)與焦點(diǎn)，向量的數(shù)量積，直線與拋物線的位置關(guān)系，平均不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析問題、解決問題的能力．