Question

（2012•武昌區模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

1

2

，兩焦點之間的距離為4．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）過橢圓的右頂點作直線交拋物線y²=4x于A、B兩點，
（1）求證：OA⊥OB；
（2）設OA、OB分別與橢圓相交于點D、E，過原點O作直線DE的垂線OM，垂足為M，證明|OM|為定值．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為

1

2

，兩焦點之間的距離為4，即可確定橢圓的標準方程；
（Ⅱ）（1）設過橢圓的右頂點（4，0）的直線AB的方程為x=my+4，代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-16=0．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），再驗證x₁x₂+y₁y₂=0即可；
（2）設D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直線DE的方程為x=ty+λ，代入

x2

16

+

y2

12

=1，得（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0．
根據OD⊥OE，可得x₃x₄+y₃y₄=0，從而可得7λ²=48（t²+1），即可計算原點到直線DE的距離為定值．

解答：解：（Ⅰ）由

2c=4 c a = 1 2

得

a=4 c=2

，
故b²=a²-c²=12．
所以，所求橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）（1）設過橢圓的右頂點（4，0）的直線AB的方程為x=my+4．
代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-16=0．
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

y1+y2=4m y1y2=-16.

∴x₁x₂+y₁y₂=（my₁+4）（my₂+4）+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+4m（y₁+y₂）+16=0．
∴OA⊥OB．
（2）設D（x₃，y₃）、E（x₄，y₄），直線DE的方程為x=ty+λ，代入

x2

16

+

y2

12

=1，得（3t²+4）y²+6tλy+3λ²-48=0．
于是y3+y4=-

6tλ

3t2+4

，y3y4=

3λ2-48

3t2+4

．
從而x3x4=(ty3+λ)(ty4+λ)=

4λ2-48t2

3t2+4

∵OD⊥OE，
∴x₃x₄+y₃y₄=0．
代入，整理得7λ²=48（t²+1）．
∴原點到直線DE的距離d=

|λ|

1+t2

=

4 21

7

為定值．

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的、拋物線的位置關系，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解．