Question

設f（x）=e^x-ax+

a

ex

，x∈R，已知斜率為k的直線與y=f（x）的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）兩點，若對任意的a＜-2，k＞m恒成立，則m的最大值為（　　）

• A、-2+

  2

• B、0
• C、2+

  2

• D、2+2

  2

Answer 1

分析：可考慮斜率為k的直線與y=f（x）的圖象相切的情況，設出切點，求出相切時k的最小值，由不等式恒成立結論：a＜f（x）恒成立?a＜f（x）_min得到m的最大值．

解答：解：因為f（x）=e^x-ax+

a

ex

，
所以導數f'（x）=e^x-a-

a

ex

當斜率為k的直線與y=f（x）的圖象相切，設切點（x₀，y₀），
則k=ex0-a-

a

ex0

=ex0+

-a

ex0

-a，
由于a＜-2，
所以-a＞2，k≥2

-a

+(-a)，
即k≥（

-a

+1）²-1＞（

2

+1）²-1，
即k＞2+2

2

．
因為對任意的a＜-2，k＞m恒成立，
所以m≤k的最小值，即m≤2+2

2

．
故選D．

點評：本題考查了函數恒成立問題，結合圖象觀察直線與曲線相切求出斜率的范圍，根據恒成立轉化為求最值，應用基本不等式和二次函數的知識，求出k的范圍，得出結論．本題屬于難題．