Question

中國隊與韓國隊進行6場乒乓球表演賽，中國隊3名女子單打的勝率分別為

4

5

，

3

4

，

2

3

，中國隊3名男子單打的勝率均為

1

2

，且各場比賽結果互不影響．
（1）求3名女子單打全勝的概率；
（2）在6場比賽中，中國隊男女各勝一場的概率；
（3）中國隊獲勝場次ξ的分布列和期望（結果保留小數點后一位數）．

Answer 1

分析：（1）根據中國隊3名女子單打的勝率分別為

4

5

，

3

4

，

2

3

，可求3名女子單打全勝的概率；
（2）設A_i表示男子比賽獲勝的場次k=0，1，2，3，B_i表示女子比賽獲勝的場次 i=0，1，2，3，則A_i，B_i獨立，利用獨立重復試驗中事件發生的概率公式，可求中國隊男女各勝一場的概率；
（3）確定ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，5，6，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答：解：（1）∵中國隊3名女子單打的勝率分別為

4

5

，

3

4

，

2

3

，∴3名女子單打全勝的概率P=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

（2）設A_i表示男子比賽獲勝的場次k=0，1，2，3，B_i表示女子比賽獲勝的場次 i=0，1，2，3，則A_i，B_i獨立．
由獨立重復試驗中事件發生的概率公式有P（A_k）=

C

k 3

(

1

2

)k
∴P（A₀）=

1

8

，P（A₁）=

3

8

，P（A₂）=

3

8

，P（A₃）=

1

8

；P（B₀）=

1

60

，P（B₁）=

3

20

，P（B₂）=

13

30

，P（B₃）=

2

5

中國隊男女各勝一場的概率為P（A₁•B₁）=

3

8

×

3

20

=

9

160

（3）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，5，6．
P（ξ=0）=P（A₀•B₀）=

1

480

，P（ξ=1）=P（A₀•B₁）+P（A₁•B₀）=

12

480

，
P（ξ=2）=P（A₀•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B₀）=

56

480

，
P（ξ=3）=P（A₀•B₃）+P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）+P（A₃•B₀）=

130

480

P（ξ=4）=P（A₁•B₃）+P（A₂•B₂）+P（A₃•B₁）=

159

480

P（ξ=5）=P（A₂•B₃）+P（A₃•B₂）=

98

480

P（ξ=6）=P（A₃•B₃）=

24

480

綜上知，ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	1 480	12 480	56 480	130 480	159 480	98 480	24 480

從而，ξ的期望Eξ=

1784

480

=

223

60

≈3.7

點評：本題考查獨立重復試驗中事件發生的概率，考查離散型隨機變量的期望與分布列，確定變量的取值，求出概率是關鍵．