Question

已知直線l：y=kx+m與橢圓

x2

3

+y2=1交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，設弦長|AB|=f（k）
（1）求f（k）個關于實數k的表達式；
（2）若不等式|x-p|+|x-1|≥f（k）對k∈R，x∈R恒成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，把y=kx+m代入橢圓方程，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，由此能求出f（k）關于實數k的表達式．
（2）由f（k）=

3+( 2 3 k 3k2+1 )2

≥

3

，知|x-p|+|x-1|≥

3

，利用絕對值的幾何意義，能求出實數p的取值范圍．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，
得m2=

3

4

(k2+1)，
把y=kx+m代入橢圓方程，
整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，
x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

(3k2+1)

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

∴|AB|=f(k)=

3(9k4+10k2+1) (3k2+1)2

=

3+ 12k2 9k4+6k2+1

．
（2）∵|AB|=f(k)=

3(9k4+10k2+1) (3k2+1)2

=

3+ 12k2 9k4+6k2+1

=

3+( 2 3 k 3k2+1 )2

≥

3

，（當且僅當k=0時，取最小值）
∴|x-p|+|x-1|≥

3

，
由絕對值的幾何意義，知|p-1|≥

3

，
∴p≥

3

+1或p≤1-

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．易錯點是絕對值的幾何意義的運用．