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已知函數f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
),其部分圖象如圖所示.
(Ⅰ) 求函數f(x)的解析式; 
(Ⅱ)已知橫坐標分別為-1、1、5的三點M、N、P都在函數f(x)的圖象上,記∠MNP=θ,求cos2θ的值.
分析:(Ⅰ) 通過函數的圖象求出A,以及函數是周期T,得到ω,利用函數經過的特殊點結合-
π
2
<φ<
π
2
,求出φ值,即可求函數f(x)的解析式; 
(Ⅱ)利用橫坐標分別為-1、1、5的三點M、N、P都在函數f(x)的圖象上,求出M、N、P的坐標,求出MN,MP,PN,通過余弦定理求出∠MNP=θ,利用二倍角的余弦函數求cos2θ的值.
解答:解:(Ⅰ)由圖可知,A=1,…(1分)
且f(x)的最小正周期T=2[3-(-1)]=8,
∴ω=
T
=
π
4
…(3分)
又f(1)=sin(
π
4
+φ)=1,且-
π
2
<φ<
π
2
,∴-
π
4
<φ+
π
4
4

∴φ=
π
4

∴f(x)=sin
π
4
(x+1).…(6分)
(Ⅱ)∵f(-1)=sin
π
4
(-1+1)=sin0=0.f(1)=sin
π
4
(1+1)=sin
π
2
=1.
f(5)=sin
π
4
(5+1)=sin
2
=-1,
∴M(-1,0),N(1,1),P(5,-1),…(9分)
∴|MN|=
(1+1)2+(1-0)2
=
5
,|MP|=
(5+1)2+(-1-0)2
=
37
,|PN|=
(5-1)2+(-1-1)2
=
20

cos∠MNP=
MN2+PN2-MP2
2MN•PN
=
5+20-37
2
5
×
20
=-
3
5

cosθ=-
3
5
…(11分),
于是cos2θ=2cos2θ-1=2×(-
3
5
)2-1=-
7
25
.…(12分)
點評:本題考查三角函數的解析式的求法,余弦定理的應用以及二倍角的余弦函數的應用,考查計算能力.
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

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1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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