Question

(2007蘇錫常鎮四市模擬)已知函數f(x)的定義域為[0，1]，且同時滿足：①f(1)=3；②f(x)≥2對一切恒成立；③若，，，則有．

(1)求函數f(x)的最大值和最小值；

(2)試比較與的大小；

(3)某同學發現：當時，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：對一切，都有f(x)＜2x＋2，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設，，， 則[0，1]， ∴． ∴． ∴． 則當0≤x≤1時，f(0)≤f(x)≤f(1)． 在③中，令，得f(0)≤2， 由②得f(0)≥2，∴f(0)=2． ∴當x=0時，f(x)取得最小值為2； 當x=1時，f(x)取得最大值為3． (2)在③中，令， 得． 則． (3)對x(0，1]，總存在nN，滿足． 由(1)與(2)，得， 又． ∴f(x)＜2x＋2． 綜上所述，對任意，f(x)＜2x＋2恒成立．