Question

設函數f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）設g（x）是f（x）的導函數，
  （i）證明：當a＞2時，在（0，+∞）上恰有一個x₀使得g（x₀）=0；
  （ii）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e為自然對數的底數．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間；
（2）（i）確定函數g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增，即可證得結論；
（ⅱ）先確定a＞2，設f（x）在[0，2]上最大值為M，則M=max{f（0），f（2）}，由此可求實數a的取值范圍．

解答：（1）解：當a=1時，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x--------------------------------------（2分）
當f'（x）＜0時，x＜0；當f'（x）＞0時，x＞0
所以函數f（x）的減區間是（-∞，0）；增區間是（0，+∞）-------------------------（4分）
（2）證明：（ⅰ）g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），g'（x）=e^x（x-a+2）------------------（5分）
當g'（x）＜0時，x＜a-2；當g'（x）＞0時，x＞a-2
因為a＞2，所以函數g（x）在（0，a-2）上遞減；在（a-2，+∞）上遞增-----------------（7分）
又因為g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一個x₀使得g（x₀）=0．--------------------------------------------------（9分）
（ⅱ）解：若a≤2，可得在x∈[0，2]時，g（x）≥0，從而f（x）在[0，2]內單調遞增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符題意．-------------------------------------------------（10分）
∴a＞2
由（ⅰ）知f（x）在（0，x₀）遞減，（x₀，+∞）遞增，
設f（x）在[0，2]上最大值為M，則M=max{f（0），f（2）}，
若對任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，則

f(0)≤0 f(2)≤0

，------------------------------------（13分）
由f（2）≤0得（2-a）e²+2a-2+a≤0，∴a≥

2e2-2

e2-3

=2+

4

e2-3

＞2，
又f（0）=0，∴a≥

2e2-2

e2-3

．---------------------------------------------------------（15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的零點，考查恒成立問題，確定函數的最值是關鍵．