Question

7．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-{1}_{\;}}$，其中n∈N^*．
（1）求證：數列{b_n}為等差數列；
（2）設c_n=b_n+1•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{b}_{n}}$，數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）證明：1+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{n}}}$≤2$\sqrt{n}$-1（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）只要證明b_n+1-b_n=$\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{2{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，為常數．
（2）由（1）可得：b_n=n．c_n=b_n+1•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{b}_{n}}$=（n+1）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
（3）1+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{n}}}$≤2$\sqrt{n}$-1（n∈N^*）即為：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$≤$2\sqrt{n}$-1．由于$\frac{1}{\sqrt{k}}$=$\frac{2}{2\sqrt{k}}$＜$\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}$=2$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$（k=2，3，…）．利用“裂項求和方法”即可得出．

解答 （1）證明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{2{a}_{n}}-1}$-$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=1，又b₁=1．∴數列{b_n}為等差數列，首項為1，公差為1．
（2）解：由（1）可得：b_n=n．
c_n=b_n+1•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{b}_{n}}$=（n+1）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴數列{c_n}的前n項和為T_n=$2×\frac{1}{3}$+3×$（\frac{1}{3}）^{2}$+$4×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（n+1）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$2×（\frac{1}{3}）^{2}$+3×$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+n$•（\frac{1}{3}）^{n}$+（n+1）$•（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$2×\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}）^{2}$+$（\frac{1}{3}）^{3}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n}$-（n+1）$•（\frac{1}{3}）^{n+1}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（n+1）$•（\frac{1}{3}）^{n+1}$，
可得T_n=$\frac{5}{4}$-$\frac{2n+5}{4}×\frac{1}{{3}^{n}}$．
（3）證明：1+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{n}}}$≤2$\sqrt{n}$-1（n∈N^*）即為：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$≤$2\sqrt{n}$-1．
∵$\frac{1}{\sqrt{k}}$=$\frac{2}{2\sqrt{k}}$＜$\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}$=2$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$（k=2，3，…）．
∴1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$≤1+2[（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）+…+（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$）]=1+2$（\sqrt{n}-1）$=2$\sqrt{n}$-1．
∴1+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{b}_{n}}}$≤2$\sqrt{n}$-1（n∈N^*）．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列與等差數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．