Question

12．在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是①③⑤（寫出所有正確命題的編號）
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；
②如果k與b都是無理數，則直線y=kx+b不經過任何整點；
③如果直線l經過兩個不同的整點，則直線l必經過無窮多個整點；
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數；
⑤存在恰經過一個整點的直線．

Answer 1

分析 ①舉一例子即可說明本命題是真命題；
②舉一反例即可說明本命題是假命題；
③假設直線l過兩個不同的整點，設直線l為y=kx，把兩整點的坐標代入直線l的方程，兩式相減得到兩整點的橫縱坐標之差的那個點也為整點且在直線l上，利用同樣的方法，得到直線l經過無窮多個整點，得到本命題為真命題；
④當k，b都為有理數時，y=kx+b可能不經過整點，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$；
⑤舉一例子即可得到本命題為真命題．

解答 解：①令y=x+$\frac{1}{2}$，既不與坐標軸平行又不經過任何整點，所以本命題正確；
②若k=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$經過（-1，0），所以本命題錯誤；
設y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經過無窮多個整點，則③正確；
④當k，b都為有理數時，y=kx+b可能不經過整點，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，故④不正確；
⑤令直線y=$\sqrt{2}$x恰經過整點（0，0），所以本命題正確．
綜上，命題正確的序號有：①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點評 此題考查學生會利用舉反例的方法說明一個命題為假命題，要說明一個命題是真命題必須經過嚴格的說理證明，以及考查學生對題中新定義的理解能力，是一道中檔題．