Question

（2012•保定一模）已知函數f（x）=x²-2x，g（x）是R上的奇函數，且當x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²．
（1）求函數g（x）在R上的解析式；
（2）若函數h（x）=x[g（x）-λf（x）+

2

3

]在〔0，+∞）上是增函數，且λ≤0，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，當x∈（-∞，0]g（x）=2x，而當x≥0，則-x≤0，g（x）=-g（-x）=2x，，從而可求g（x）
（2）由題意可得，h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

分類 討論：①λ=0時，②當λ＜0時，結合導數的符號可判斷λ的取值范圍

解答：解：（1）∵當x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x²，f（x）=x²-2x，
∴當x∈（-∞，0]，g（x）=2x  （2分）
設x≥0，則-x≤0
∴g（-x）=-2x
∵g（x）是R上的奇函數
∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
∴g（x）=2x  （5分）
（2）∵h（x）=x[g（x）-λf（x）+

2

3

]
∴h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

  （6分）
①λ=0時，h′(x)=4x+

2

3

≥

2

3

，所以函數h（x）在[0，+∞）上是增函數，滿足題意  （7分）
②當λ＜0時，h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+

2

3

的對稱軸x=

2λ+2

3λ

，在y軸上的截距為

2

3

所以（i）若

λ+1

λ

≥0即-1＜λ＜0時，函數h（x）在〔0，+∞）上是增函數，（9分）
（ii）若

λ+1

λ

≥0即λ≤-1時，

-8λ-16(λ+1)2

-12λ

=

2(2λ2+5λ+2)

3λ

≥0
即2λ²+5λ+2≤0
∴-2≤λ≤-1，
綜上可得，-2≤λ≤0時，結論成立   （12分）

點評：本題主要考查了利用奇函數的性質求解函數的解析式，利用導數判斷函數的單調性，體現了分類討論思想的應用．