Question

6．點（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x+y≤3\end{array}\right.$，則$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍為[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用分式的幾何意義結合直線斜率的定義將$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$轉化為直線斜率問題，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
則x＞0，y＞0，$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
設k=$\frac{y}{x}$，則k＞0，
$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$=$\frac{\frac{y}{x}}{1+（\frac{y}{x}）^{2}}$=$\frac{k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$，
則k的幾何意義是區域內的點到原點的斜率，
由圖象知OB的斜率最小，OA的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（2，1），
則OB的斜率k=$\frac{1}{2}$，OA的斜率k=2，
即$\frac{1}{2}$≤k≤2，
設f（k）=k+$\frac{1}{k}$，則函數在$\frac{1}{2}$≤k≤1上遞減，在1≤k≤2上遞增，
則最小值為f（1）=1+1=2，
f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$=f（2），
則2≤f（k）≤$\frac{5}{2}$，
則2≤k+$\frac{1}{k}$≤$\frac{5}{2}$，
則$\frac{2}{5}$≤$\frac{1}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{1}{2}$，
即$\frac{xy}{{{x^2}+{y^2}}}$的取值范圍為[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案為：[$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用分式的特點進行轉化，結合直線斜率的公式以及基本不等式的性質是解決本題的關鍵．