Question

已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD 為矩形，PA=

2

，AB=1，AD=2，O 是BC 的中點．
1）求證：平面PAO⊥平面POD．
2）求二面角P-OD-A 的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證平面PAO⊥平面POD，需證線面垂直（DO⊥平面PAO），結合已知，只需證明DO⊥AO即可．
（2）由于PO⊥OD，AO⊥OD，∠PAO即為所求．

解答：證明：PA⊥平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴PA⊥OD，
PA=

2

，AB=1，AD=2，O 是BC 的中點．
∴AB=BO=1，又四邊形ABCD 為矩形，
∴∠AOD是直角
∴AO⊥OD，又PA⊥OD，PA∩AO=A，
∴DO⊥平面PAO，又DO?平面POD，
∴平面PAO⊥平面POD．
（2）∵平面POD∩AOD=OD，
由（1）知，DO⊥平面PAO，PO?平面PAO，
∴PO⊥OD，
又AO⊥OD（已證明），
∴∠PAO即為二面角P-OD-A的平面角．
∵PA=

2

，AO=

2

，∠PAO=

π

2

，
∴tan∠POA=1，
∴∠POA=

π

4

．
即二面角P-OD-A=

π

4

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，難點在于（2）中二面角P-OD-A 的平面角的分析確定，屬于中檔題．