Question

某機床廠每月生產某種精密數控機床10件，已知生產一件合格品能盈利8萬元，生產一件次品將會虧損2萬元．假設該精密數控機床任何兩件之間合格與否相互沒有影響．相關部門統計了近二年每個月生產的合格品，以生產最穩定的年份估算2010工廠生產該精密數控機床的合格率．

合格品	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
2008	7	8	7	6	10	8	5	6	7	8	6	6
2009	9	8	7	8	8	8	9	7	8	10	7	7

參考數據：0.8⁴=0.410，0.8⁵=0.328，0.8⁶=0.262，0.8⁷=0.210，0.8⁸=0.168，0.8⁹=0.134，0.8¹⁰=0.107
（1）試確定2010年生產精密數控機床的合格率；
（2）若該工廠希望每月盈利額X不低于70萬元，求該工廠達到盈利目標的概率（將結果精確到0.01）．
（3）求該工廠每月盈利額X的數學期望．

Answer 1

分析：（1）分別求出2008年和2009年生產精密數控機床的合格率、方差，由以生產最穩定的年份估算2010工廠生產該精密數控機床的合格率，能得到2010年生產精密數控機床的合格率．
（2）設X表示合格品的個數，則X～B（10，0.8），X表示每月盈利額，則P（η≥70）=P（ξ≥9）=P（ξ=9）+P（ξ=10），由此能求出該工廠達到盈利目標的概率．
（3）由X～B（10，0.8），能求出該工廠每月盈利額X的數學期望．

解答：解：（1）2008年生產精密數控機床的合格率為[

1

12

（7+8+7+6+10+8+5+6+7+8+6+6）÷12]×100%=70%，
方差S12=

1

12

[（7-7）²+（8-7）²+（7-7）²+（6-7）²+（10-7）²+（8-7）²
+（5-7）²+（6-7）²+（7-7）²+（8-7）²+（6-7）²+（6-7）²]=

20

12

=

5

3

，
2009年生產精密數控機床的合格率為[

1

12

（9+8+7+8+8+8+9+7+8+10+7+7）÷12]×100%=80%，
方差S22=

1

12

[（9-8）²+（8-8）²+（7-8）²+（8-8）²+（8-8）²+（8-8）²
+（9-8）²+（7-8）²+（8-8）²+（10-8）²+（7-8）²+（7-8）²]=

10

12

=

5

6

．
∵以生產最穩定的年份估算2010工廠生產該精密數控機床的合格率，
∴2010年生產精密數控機床的合格率為0.8．
（2）設X表示合格品的個數，
則X～B（10，0.8），
X表示每月盈利額，
則P（η≥70）=P（ξ≥9）
=P（ξ=9）+P（ξ=10）
=

C

9 10

(

4

5

)9(

1

5

)+

C

10 10

(

4

5

)10
≈0.38．
（3）由X～B（10，0.8），知EX=10×0.8=8，
∵η=8ξ-2（10-ξ）=10ξ-20，
∴Eη=10Eξ-20=60（萬元）．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．