Question

用三個全等的等腰三角形拼接成一個正三棱錐形的漏斗（如圖）．已知三角形的一腰長為2．
（Ⅰ）將漏斗容積V表示成關于三棱錐高h的函數關系式．
（Ⅱ）求漏斗容積的最大值，并求此時漏斗的高與等腰三角形的頂角大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出漏斗的上底面邊長，結合腰長為2求出底邊上的高，把底面邊長用高表示，則可以求得漏斗容積V關于三棱錐高h的函數關系式．
（Ⅱ）求出V關于h的函數式的導函數，利用導函數判斷出單調性，利用單調性求最值并求出漏斗的高與等腰三角形的頂角大小．

解答：解：（Ⅰ）設等腰三角形的底邊長為a，則三棱錐底面三角形邊上的高為

3

2

a
∴（

2

3

×

3

2

a）²+h²=4，即h²+

1

3

a²=4
∴V=

1

3

×

3

4

×a²×h=

3

12

h(12-3h2)=

3

h-

3

4

h3(0＜h＜2)；
（Ⅱ）∵V'=

3

-

3 3

4

h2，令V'=0，即h=

2

3

3

當0＜h＜

2

3

3

時，V'＞0
當

2

3

3

＜h＜2時，V'＜0
∴h=

2

3

3

時V取得極大值為

4

3

并且這個極大值是最大值
把h=

2

3

3

代入h²+

1

3

a²=4，得a=2

2

∴在△ASB中，∠ASB=

π

2

即漏斗容器的最大值為

4

3

，此時漏斗的高為

2

3

3

，等腰三角形的頂角為

π

2

．

點評：本題考查了錐體體積的表示方法，考查了利用導數求函數的最值，解答的關鍵是熟練掌握函數的單調性與導函數符號之間的關系，是中檔題．