Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是2，其圖象經(jīng)過點M（

π

3

，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若tanα=3，且函數(shù)g（x）=f（x+α）+f（x+α-

π

2

）（x∈R）的圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，求tanx₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)最大值為2，確定A=2，根據(jù)過M，求出φ，進而確定f（x）的解析式．
（2）寫出g（x）的解析式，根據(jù)其圖象關(guān)于直線x=x₀對稱，求出x₀，進而求出tanx₀即可．

解答：解：（1）∵函f（x）的最大值是2，
∴A=2，又函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的圖象經(jīng)過點M（

π

3

，1），
∴2sin（

π

3

+φ）=1，
即sin（

π

3

+φ）=

1

2

，
∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

2

，
∴f（x）=2sin（x+

π

2

）=2cosx…（5分）
（2）g（x）=f（x+α）+f（x+α-

π

2

）
=2cos（x+α）+2cos（x+α-

π

2

）
=2cos（x+α）+2sin（x+α）
=2

2

sin（x+α+

π

4

），
∵其圖象關(guān)于直x=x₀對稱，
∴sin（x₀+α+

π

4

）=±1，
∴x₀+α+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），即 x₀=kπ-α+

π

4

，（k∈Z），
又∵tanα=3，
∴tanx₀=tan（kπ-α+

π

4

）=tan（

π

4

-α）=

1-tanα

1+tanα

=-

1

2

…（14分）

點評：本題考查了由三角函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式以及性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．