Question

已知定點A（12，0），M為曲線（x-6）²+y²=4上的動點，
（1）若，試求動點P的軌跡C的方程
（2）若直線l：y=-x+a與曲線C相交與不同的兩點E，F．O為坐標原點，且，實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：設P（x，y），M （a，b）
（1）由可得a，b與x，y之間的關系，結合M（a，b）為為曲線（x-6）²+y²=4上的點可求x，y的關系，即可求曲線C 的方程
（2）聯立直線y=-x+a與曲線C的方程，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，結合y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=及=x₁x₂+y₁y₂，代入可求a
解答：解：設P（x，y），M （a，b）
（1），
∵
∴
∴
∵M（a，b）為為曲線（x-6）²+y²=4上的點
∴（a-6）²+b²=4上
∴，即動點C的軌跡方程為x²+y²=16
（2）聯立方程可得2x²-2ax+a²-16=0
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
則x₁+x₂=a，
∴y₁y₂=（a-x₁）（a-x₂）=a²-a（x₁+x₂）+x₁x₂=
∴=x₁x₂+y₁y₂=a²-16=12
∴a²=28
∴
點評：本題考查利用相關點法求解點的軌跡方程，直線與曲線相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，向量的數量積的坐標表示等綜合應用