Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（1）若數列{a_n}是等差數列，求a₁的值；（2）當a₁=2時，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）若對任意n∈N^*，都有≥5成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等差數列的定義，若數列{a_n}是等差數列，則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．結合a_n+1+a_n=4n-3，得即可解得首項a₁的值；
（2）由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），用n+1代n得a_n+2+a_n+1=4n+1（n∈N^*）．兩式相減，得a_n+2-a_n=4．從而得出數列{a_2n-1}是首項為a₁，公差為4的等差數列．進一步得到數列{a_2n}是首項為a₂，公差為4的等差數列．下面對n進行分類討論：①當n為奇數時，②當n為偶數時，分別求和即可；
（3）由（2）知，a_n=（k∈Z）．①當n為奇數時，②當n為偶數時，分別解得a₁的取值范圍，最后綜上所述，即可得到a₁的取值范圍．
解答：解：（1）若數列{a_n}是等差數列，則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．
由a_n+1+a_n=4n-3，得（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a₁-d=-3，解得d=2，a₁=．
（2）由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），得a_n+2+a_n+1=4n+1（n∈N^*）．
兩式相減，得a_n+2-a_n=4．
所以數列{a_2n-1}是首項為a₁，公差為4的等差數列．
數列{a_2n}是首項為a₂，公差為4的等差數列．
由a₂+a₁=1，a₁=2，得a₂=-1．
所以a_n=（k∈Z）．
①當n為奇數時，a_n=2n，a_n+1=2n-3．S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=1+9+…+（4n-11）+2n=+2n=．
②當n為偶數時，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）═1+9+…+（4n-7）=．
所以S_n=（k∈Z）．
（3）由（2）知，a_n=（k∈Z）．
①當n為奇數時，a_n=2n-2+a₁，a_n+1=2n-1-a₁．
由≥5，得a₁²-a₁≥-4n²+16n-10．
令f（n）=-4n²+16n-10=-4（n-2）²+6．
當n=1或n=3時，f（n）_max=2，所以a₁²-a₁≥2．
解得a₁≥2或a₁≤-1．
②當n為偶數時，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁．
由≥5，得a₁²+3a₁≥-4n²+16n-12．
令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4．
當n=2時，g（n）_max=4，所以a₁²+3a₁≥4．
解得a₁≥1或a₁≤-4．
綜上所述，a₁的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．
點評：本小題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的前n項和、不等式的解法、數列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．