Question

已知函數f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（3）c為何值時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），令f′（1）=0即可解得；
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，等價于f_max（x）=2+c＜c²，利用導數即可求得其最大值；
（3）由（2）問結論借助f（x）圖象特征可知：要使曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點，只需f_極小值（x）＞0或f_極大值（x）＜0．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x+b，
因為f（x）在x=1處取得極值，
所以f′（1）=0，即3-1+b=0，解得b=-2，
故b=-2．
（2）由（1）知f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
當x＜-

2

3

或x＞1時，f′（x）＞0，當-

2

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，
所以當x=-

2

3

時f（x）取得極大值，f（-

2

3

）=

22

27

+c，當x=1時f（x）取得極小值，f（1）=-

3

2

+c，
又f（-1）=

1

2

+c，f（2）=2+c，
所以當x∈[-1，2]時，f_max（x）=2+c，f_min（x）=-

3

2

+c，
當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，等價于f_max（x）=2+c＜c²，解得c＞2或c＜-1．
故實數c的取值范圍為：c＞2或c＜-1．
（3）由（2）知：當x=-

2

3

時f（x）取得極大值，f（-

2

3

）=

22

27

+c，當x=1時f（x）取得極小值，f（1）=-

3

2

+c，
根據f（x）圖象大致形狀可知，要使曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點，只需f（-

2

3

）=

22

27

+c＜0，或f（1）=-

3

2

+c＞0，
解得c＜-

22

27

或c＞

3

2

．
故當c＜-

22

27

或c＞

3

2

時y=f（x）與x軸僅有一個交點．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件、函數恒成立及函數零點問題，考查數形結合思想，考查學生對問題的理解轉化能力．