Question

口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一球.試計算第二個人摸到白球的概率.

   

Answer 1

分析：我們只需找出4個人按順序依次摸球的所有可能結果數和第二個人摸到白球的可能結果數.為此考慮用列舉法列出所有可能結果.

    解法一：用A表示事件“第二個人摸到白球”.把2個白球編上序號1，2；2個黑球也編上序號1，2.于是，4個人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結果，可用樹狀圖直觀地表示出來（如下圖所示）.

    樹狀圖是進行列舉的一種常用方法.從上面的樹狀圖可以看出，試驗的所有可能結果數為24.由于口袋內的4個球除顏色外完全相同，因此，這24種結果的出現是等可能的，試驗屬于古典概型.在這24種結果中，第二個人摸到白球的結果有12種，因此“第二個人摸到白球”的概率

    P（A）=，

    還可以建立另外的模型來計算“第二個人摸到白球”的概率.如果建立的模型能使得試驗的所有可能結果數變少，那么我們計算起來就更簡便.

    解法二：因為是計算“第二個人摸到白球”的概率，所以我們可以只考慮前兩人摸球的情況.前兩人依次從袋中摸出一球的所有可能結果可用樹狀圖列舉出來（如下圖）.

    從上面的樹狀圖可以看出，這個模型的所有可能結果數為12，因為口袋里的4個球除顏色外完全相同，因此，這12種結果的出現是等可能的，這個模型也是古典概型.在上面12種結果中，第二個人摸到白球的結果有6種，因此“第二個人摸到白球”的概率

P（A）=.

    這里，我們是根據事件“第二個人摸到白球”的特點，利用試驗結果的對稱性，只考慮前兩人摸球的情況，從而簡化了模型.

    還可以從另外一個角度來考慮這個問題.因為口袋里的4個球除顏色外完全相同，因此，可以對2個白球不加區別，對2個黑球也不加區別，這樣建立的模型的所有可能結果數就會更少，由此得到例1的另一種解法.

    解法三：只考慮球的顏色，4個人按順序依次從袋中摸出一球的所有可能結果可用樹狀圖列舉出來（如下圖）

    試驗的所有可能結果數為6，并且這6種結果的出現是等可能的，這個模型是古典概型.在這6種結果中，第二個人摸到白球的結果有3種，因此“第二個人摸到白球”的概率

P（A）=.

下面再給出一種更為簡單的解法.

    解法四：只考慮第二個人摸出的球的情況，他可能摸到這4個球中的任何一個，這4種結果出現的可能性是相同的.第二個人摸到白球的結果有2種，因此“第二個人摸到白球”的概率

    P（A）=.