Question

已知數列{a_n}，a_n＝pⁿ＋λqⁿ(p＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N^*)．

(1)求證：數列{a_n+1－pa_n}為等比數列；

(2)數列{a_n}中，是否存在連續的三項，這三項構成等比數列？試說明理由；

(3)設A＝{(n，b_n)|b_n＝3ⁿ＋kⁿ，n∈N^*}，其中k為常數，且k∈N^*，B＝{(n，c_n)|c_n＝5ⁿ，n∈N^*}，求A∩B．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵＝，∴ 　　， 　　∵∴為常數∴數列為等比數列 　　(2)取數列的連續三項， 　　∵， 　　，∴，即， 　　∴數列中不存在連續三項構成等比數列； 　　(3)當時，，此時； 　　當時，為偶數；而為奇數，此時； 　　當時，，此時； 　　當時，，發現符合要求，下面證明唯一性(即只有符合要求)． 　　由得， 　　設，則是上的減函數，∴的解只有一個 　　從而當且僅當時，即，此時； 　　當時，，發現符合要求，下面同理可證明唯一性(即只有符合要求)． 　　從而當且僅當時，即，此時； 　　綜上，當，或時，； 　　當時，， 　　當時，．