Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0，求函數(shù)y=f（x）解析式．

Answer 1

分析：因為函數(shù)的圖象經(jīng)過P點，所以把P點的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式中即可求出d的值，把d的值代入f（x）確定出函數(shù)的關(guān)系式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把（-1，f（-1））代入導(dǎo)函數(shù)得到f（-1）的值，又因為切線方程的斜率為6，所以得到x=-1時導(dǎo)函數(shù)的值為6，分別列出關(guān)于b與c的兩個方程，聯(lián)立即可求出b與c的值，把a，b和c的值代入即可確定出f（x）的解析式．

解答：解：由f（x）的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x³+bx²+cx+2，則f'（x）=3x²+2bx+c．
由在M（-1，f（-1））處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f（-1）+7=0，
即f（-1）=1，f'（-1）=6
∴

3-2b+c=6 -1+b-c+2=1

，即

2b-c=-3 b-c=0

，
解得b=c=-3，
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．

點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，是一道綜合題．