Question

已知圓C：x²+y²=9，點A（-5，0），直線l：x-2y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；
（2）在直線OA上（O為坐標原點），存在定點B（不同于點A），滿足：對于圓C上任一點P，都有

PB

PA

為一常數，試求所有滿足條件的點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）先求與直線l垂直的直線的斜率，可得其方程，利用相切求出結果．
（2）先設存在，利用都有

PB

PA

為一常數這一條件，以及P在圓上，列出關系，利用恒成立，可以求得結果．

解答：解：（1）設所求直線方程為y=-2x+b，即2x+y-b=0，∵直線與圓相切，
∴

|-b|

22+12

=3，得b=±3

5

，
∴所求直線方程為y=-2x±3

5

，
（2）方法1：假設存在這樣的點B（t，0），
當P為圓C與x軸左交點（-3，0）時，

PB

PA

=

|t+3|

2

；
當P為圓C與x軸右交點（3，0）時，

PB

PA

=

|t-3|

8

，
依題意，

|t+3|

2

=

|t-3|

8

，解得，t=-5（舍去），或t=-

9

5

．
下面證明點B(-

9

5

，0)對于圓C上任一點P，都有

PB

PA

為一常數．
設P（x，y），則y²=9-x²，
∴

PB2

PA2

=

(x+ 9 5 )2+y2

(x+5)2+y2

=

x2+ 18 5 x+ 81 25 +9-x2

x2+10x+25+9-x2

=

18 25 (5x+17)

2(5x+17)

=

9

25

，
從而

PB

PA

=

3

5

為常數．
方法2：假設存在這樣的點B（t，0），使得

PB

PA

為常數λ，則PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，將y²=9-x²代入得，
x²-2xt+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0對x∈[-3，3]恒成立，
∴

5λ2+t=0 34λ2-t2-9=0

，解得

λ= 3 5 t=- 9 5

或

λ=1 t=-5

（舍去），
所以存在點B(-

9

5

，0)對于圓C上任一點P，都有

PB

PA

為常數

3

5

．

點評：本題考查直線和圓的方程的應用，圓的切線方程，又是存在性和探究性問題，恒成立問題，考查計算能力．是難題．