Question

解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是拋物線C：y²＝2px(p＞0)上相異兩點，且，直線PQ與x軸相交于E．

(Ⅰ)若P，Q到x軸的距離的積為4，求p的值；

(Ⅱ)若p為已知常數(shù)，在x軸上，是否存在異于E的一點F，使得直線PF與拋物線的另一交點為R，而直線RQ與x軸相交于T，且有，若存在，求出F點的坐標(biāo)(用p表示)，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵＝0，則x1x2＋y1y2＝0，　　1分 　　又P、Q在拋物線上， 　　∴y12＝2px1，y22＝2px2， 　　∴＋y1y2＝0，y1y2＝－4p2， 　　∴|y1y2|＝4p2，　　3分 　　又|y1y2|＝4，∴4p2＝4，p＝1．　　4分 　　(Ⅱ)設(shè)E(a，0)，直線PQ方程為x＝my＋a， 　　聯(lián)立方程組，　　5分 　　消去x得y2－2pmy－2pa＝0，　　6分 　　∴y1y2＝－2pa，　　①　　7分 　　設(shè)F(b，0)，R(x3，y3)，同理可知： 　　y1y3＝－2pb，　　②　　8分 　　由①、②可得，　　③　　9分 　　若，設(shè)T(c，0)，則有 　　(x3－c，y3－0)＝3(x2－c，y2－0)， 　　∴y3＝3y2　　即　＝3，　　④　　10分 　　將④代入③，得　b＝3a．　　11分 　　又由(Ⅰ)知，＝0， 　　∴y1y2＝－4p2，代入①， 　　得－2pa＝－4p2　　∴a＝2p，　　13分 　　∴b＝6p， 　　故，在x軸上，存在異于E的一點F(6p，0)，使得．　　14分 　　注：若設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b，不影響解答結(jié)果．