Question

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,D是AB的中點,DC=?DA₁=a?,

(1)求異面直線BC₁與A₁D所成的角;

(2)求二面角D-A₁C-A的大小;

(3)求點C₁到平面A₁DC的距離.

Answer 1

解:(1)∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,且D是AB的中點,

∴AB=BC=AC=a.又DA₁=a,

∴CC₁=AA₁==a,且BC₁==a.

取A₁B₁的中點D₁,連結BD₁,則BD₁∥A₁D,∴∠D₁BC₁是異面直線BC₁與A₁D所成的角.∵D₁是A₁B₁的中點,∴△BD₁C₁是直角三角形.在Rt△BD₁C₁中,C₁D₁=BD₁=a,BC₁=a,

∴∠D₁BC₁=45°,即異面直線BC₁與A₁D所成的角為45°

(2)過點D作DE⊥AC于E,過E作EF⊥A₁C于F,連結DF.

∵ABC—A₁B₁C₁是正三棱柱,且DE⊥AC,∴DE⊥面ACA₁.又EF⊥A₁C,由三垂線定理,得DF⊥A₁C,∠EFD是二面角DA₁CA的平面角.在△EFD中,DE=a,DF=a,∠DEF=90°,

∴∠DEF=45°,即二面角D-A₁C-A的大小為45°.

(3)∵AC₁的中點M在平面AD₁C上,∴點C₁到平面的距離即為點A到平面AD₁C的距離.

過A作AH⊥A₁D,垂足為H,∵平面AD₁C⊥平面AA₁B₁B,∴AH即為所求.

AH=a,故點C₁到平面A₁DC的距離是a.