Question

已知f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數，當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

；
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）試判斷函數f（x）在區間（0，1）上的單調性，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）當-1＜x＜0時，f(x)=-f(-x)=-

2-x

4-x+1

=-

2x

1+4x

，再由f（0）=0，能求出f（x）在（-1，1）上的解析式．
（2）函數f（x）在區間（-1，0）上為單調減函數．利用定義法進行證明即可．

解答：解：（1）∵f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數，
當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

；
∴當-1＜x＜0時，0＜-x＜1，f(x)=-f(-x)=-

2-x

4-x+1

=-

2x

1+4x

，
又∵f（0）=0，
∴f(x)=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x=0 - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

…（6分）
（2）函數f（x）在區間（-1，0）上為單調減函數．
證明如下：
設x₁，x₂是區間（0，1）上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x1(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

…（8分）
=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
因為2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＞0，4x1+1＞0，4

x

2

+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數f（x）在區間（-1，0）上為單調減函數．…（12分）

點評：本題考查函數解析式的求法，考查函數單調性的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意定義法證明函數單調性的合理運用．