Question

若直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M，N兩點，且M，N關于直線x-y=0對稱，動點P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區域內部及邊界上運動，則w=

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

A．[2，+∞）

B．（-∞，-2]

C．[-2，2]

D．（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

∵M，N是圓上兩點，且M，N關于直線x-y=0對稱，
∴直線x-y=0經過圓的圓心（-

k

2

，-

m

2

），且直線x-y=0與直線y=kx+1垂直．
∴k=m=-1．
∴約束條件為：

-x-y+2≥0 -x+y≤0 y≥0

根據約束條件畫出可行域，
w=

b-2

a-1

，表示可行域內點Q和點P（1，2）連線的斜率的最值，
當Q點在原點O時，直線PQ的斜率為2，當Q點在可行域內的點B處時，直線PQ的斜率為-2，
結合直線PQ的位置可得，當點Q在可行域內運動時，其斜率的取值范圍是：
（-∞，-2]∪[2，+∞）
從而得到w的取值范圍（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故選D．