Question

【題目】已知在△ABC中， ．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0，

∴﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，

化為sinAsinB﹣ sinAcosB=0，

∵sinA≠0，

∴sinB﹣ cosB=0，

∵cosB≠0，

∴tanB= ，

∵B∈（0，π）．

解得B= ．

（2）解：∵a+c=1，

∴1≥2 ，

化為ac≤ ．

由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac≥ ，當且僅當a=c= 時取等號．

∴b≥ ．

又b＜a+c=1．

∴b的取值范圍是[ ，1）．

【解析】（1）由cosC+（cosA﹣ sinA）cosB=0，可得﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣ sinAcosB=0，可化為tanB= ，即可得出．（2）由a+c=1，利用基本不等式的性質化為ac≤ ．由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3ac，利用基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用兩角和與差的余弦公式和兩角和與差的正弦公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩角和與差的余弦公式：；兩角和與差的正弦公式：．