Question

已知圓C₁：x²+y²=1，圓C₂：x²+y²-2x+4y+1=0；
（Ⅰ）求證：圓C₁、圓C₂相交；    
（Ⅱ）求圓C₁、圓C₂相交弦的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把兩個圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，求得兩圓的圓心距大于兩圓的半徑只差而小于
兩圓的半徑之和，可得這兩個圓相交．
（Ⅱ）把這兩個圓的方程相減可得公共弦所在的直線方程．求出圓心C₁到直線方程x-2y+1=0的距離，
再由弦長公式求得弦長．

解答：解：（Ⅰ）圓C₁：x²+y²=1的圓心為（0，0），半徑為1．
圓C₂：x²+y²-2x+4y+1=0即 （x-1）²+（y+2）²=4，表示圓心為（1，-2）、半徑等于2的圓．
兩圓的圓心距

1+4

=

5

，大于兩圓的半徑只差而小于兩圓的半徑之和，
故這兩個圓相交．
（Ⅱ）把這兩個圓的方程相減可得公共弦所在的直線方程為x-2y+1=0．
圓心C₁到直線方程x-2y+1=0的距離為d=

|0-0+1|

5

=

5

5

，
由弦長公式可得 弦長為 2

1- 1 5

=

4 5

5

．

點評：本題主要考查圓的標準方程、點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．