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【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的離心率 ,且點 在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)直線l與橢圓E交于A、B兩點,且線段AB的垂直平分線經過點 .求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由已知,e= = ,a2﹣b2=c2 , ∵點 在橢圓上,
,解得a=2,b=1.
∴橢圓方程為
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),
∵AB的垂直平分線過點 ,∴AB的斜率k存在.
當直線AB的斜率k=0時,x1=﹣x2 , y1=y2
∴SAOB= 2|x||y|=|x|
= =1,
當且僅當x12=4﹣x12 , 取得等號,
時,(SAOBmax=1;
當直線AB的斜率k≠0時,設l:y=kx+m(m≠0).
消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△>0可得4k2+1>m2①,
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,可得

∴AB的中點為
由直線的垂直關系有 ,化簡得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m>m2 , 解得﹣6<m<0,
又O(0,0)到直線y=kx+m的距離為


=
∵﹣6<m<0,∴m=﹣3時,
由m=﹣3,∴1+4k2=18,解得
時,(SAOBmax=1;
綜上:(SAOBmax=1.
【解析】(Ⅰ)運用離心率公式和點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2),討論直線AB的斜率為0和不為0,聯立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,結合基本不等式和二次函數的最值的求法,可得面積的最大值.

練習冊系列答案
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(Ⅱ)如果隨機抽取的7名同學的物理、化學成績(單位:分)對應如表:

學生序號

1

2

3

4

5

6

7

物理成績

65

70

75

81

85

87

93

化學成績

72

68

80

85

90

86

91

規定85分以上(包括85份)為優秀,從這7名同學中再抽取3名同學,記這3名同學中物理和化學成績均為優秀的人數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.

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