Question

如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）求直線EC與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)即可證明；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)、線面角的定義即可得出．

解答：（1）證明：取AB中O，連接EO，DO．
∵EB=EA，∴EO⊥AB．
∵四邊形ABCD為直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，
∴四邊形OBCD為正方形，∴AB⊥OD．
又∵EO∩OD=O，∴AB⊥平面EOD．
∴AB⊥ED．
（2）∵平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，
∴BC⊥平面ABE．
則∠CEB為直線EC與平面ABE所成的角．
設(shè)BC=a，則AB=2a，BE=

2

a，∴CE=

3

a，
在直角三角形CBE中，sin∠CEB=

CB

CE

=

1

3

=

3

3

．
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握用等腰三角形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵．