Question

下列函數中，最小值為4的函數是（　　）

• A．y=lgx+

  4

  lgx

      （x＞0）
• B．y=sinx+

  4

  sinx

     （0＜x＜π）
• C．y=a^x+4a^-x  （a＞0，a≠1）
• D．y=x+

  4

  x-1

    （x＞1）

Answer 1

分析：由于lgx可正可負，則y=lgx+

4

lgx

的值可為負數
令t=sinx，則t∈（0，1]y=sinx+

4

sinx

=t+

4

t

在（0，1]上單調遞減，可求最小值
由于a^x＞0，則y=a^x+

4

ax

≥2

ax• 4 ax

可求最小值
x＞1可得x-1＞0，y=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1可求最小值

解答：解：由于當x＞0時，lgx可正可負，則y=lgx+

4

lgx

的值可為負數，故A錯誤
令t=sinx，則t∈（0，1]y=sinx+

4

sinx

=t+

4

t

在（0，1]上單調遞減，則t=1時，函數有最小值5，故B錯誤
由于a^x＞0，則y=a^x+

4

ax

≥2

ax• 4 ax

=4，當且僅當ax=

4

ax

即a^x=2時取等號，即函數的最小值為4
x＞1可得x-1＞0，y=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，故函數的最小值5
故選C

點評：本題主要考查了基本不等式在求解函數的最值中的應用，要注意一正二定三相等條件的判斷，還要注意函數單調性的應用