Question

（本小題14分）
（I）已知數列滿足 ，滿足， ，求證：。．
（II) 已知數列滿足：a=1且。設mN，mn2，證明（a+）（m-n+1）

Answer 1

證明：
（I）記，則。 …… 2分
而。     ……………… 4分
因為，所以。     …………………  5分
從而有 。      ①
又因為，所以，
即。從而有 。②    … 6分
由（1）和（2）即得  。綜合得到 。
左邊不等式的等號成立當且僅當 n=1時成立。               ………  7分 
（II）不妨設即與比較系數得c=1.即
又,故{}是首項為公比為的等比數列，
故                                            ………  10分
這一問是數列、二項式定理及不等式證明的綜合問題.綜合性較強.
即證，當m=n時顯然成立。易驗證當且僅當m=n=2時，等號成立。
設下面先研究其單調性。當>n時， ………  12分
即數列{}是遞減數列.因為n2，故只須證即證。事實上，故上不等式成立。綜上，原不等式成立。 ………………  14分

解析